Question

14．已知點$M（0，\sqrt{3}）$是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個頂點，橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程； 
（Ⅱ）已知點P（x₀，y₀）是定點，直線$l：y=\frac{1}{2}x+m（m∈R）$交橢圓C于不同的兩點A、B，記直線PA、PB的斜率分別為k₁、k₂，求點P的坐標，使得k₁+k₂=0恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由給出的橢圓的離心率、橢圓過定點M及隱含條件a²=b²+c²列方程組可求a²，b²，則橢圓方程可求；
（2）設出A，B兩點的坐標，把直線和橢圓聯立后可求A，B兩點的橫坐標的和與積，把直線PA、PB的斜率k₁、k₂分別用A，B兩點的坐標表示，把縱坐標轉化為橫坐標后，則k₁+k₂僅含A，B兩點的橫坐標的和與積，化簡整理即可得到結論．

解答 解：（Ⅰ）由題意，b=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
∴c=1，a=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$； 
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線$l：y=\frac{1}{2}x+m（m∈R）$代入橢圓C，
整理得：x²+mx+m²-3=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$+$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=0．
∴y₁x₂+y₂x₁+2x₀y₀-y₀（x₁+x₂）-x₀（y₁+y₂）=0，
代入整理可得m（y₀-$\frac{3}{2}$x₀）+2x₀y₀-3=0
∴y₀-$\frac{3}{2}$x₀=0且2x₀y₀-3=0
∴x₀=1，y₀=$\frac{3}{2}$或x₀=-1，y₀=-$\frac{3}{2}$，
∴P（1，$\frac{3}{2}$）或P（-1，-$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了橢圓標準方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關系，考查了數形結合的解題思想，解答此類問題的關鍵是，常常采用設而不求的方法，即設出直線與圓錐曲線交點的坐標，解答時不求坐標，而是運用根與系數關系求出兩個點的橫坐標的和與積，然后結合已知條件整體代入求解問題，此題是中檔題．