Question

5．已知定義在R上函數y=f（x+1）是偶函數，且在[0，+∞）上單調，若數列{a_n}是公差不為0的等差數列，且f（a₆）=f（a₂₀），則{a_n}的前25項之和為（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{25}{2}$
• C． 25
• D． 50

Answer 1

分析 定義在R上函數y=f（x+1）是偶函數，可得f（-x+1）=f（x+1），函數f（x）的關于直線x=1對稱．根據數列{a_n}是公差不為0的等差數列，f（a₆）=f（a₂₀），在[0，+∞）上單調，可得$\frac{{a}_{6}+{a}_{20}}{2}$=1，再利用等差數列的前n項和公式及其性質即可得出．

解答 解：∵定義在R上函數y=f（x+1）是偶函數，
∴f（-x+1）=f（x+1），
∴函數f（x）的關于直線x=1對稱．
∵數列{a_n}是公差不為0的等差數列，f（a₆）=f（a₂₀），在[0，+∞）上單調，
∴a₆＜1＜a₂₅或a₂₅＜1＜a₆，
∴$\frac{{a}_{6}+{a}_{20}}{2}$=1，
∴a₁₃=1．
∴S₂₅=$\frac{25（{a}_{1}+{a}_{25}）}{2}$=25a₁₃=25．
故選：C．

點評 本題考查了等差數列的通項公式性質及其前n項和公式、函數的奇偶性對稱性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．