Question

7．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為2，AC₁⊥A₁B，M是A₁B₁的中點，N是AB中點，求證：
（1）A₁B⊥平面AMC₁；
（2）平面AMC₁∥平面NB₁C．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出C₁M⊥AA₁，C₁M⊥A₁B₁，從而A₁B⊥C₁M，由此能證明A₁B⊥平面AMC₁．
（2）推導(dǎo)出MC₁∥NC，MB₁$\underset{∥}{=}$AN，四邊形ANB₁M是平行四邊形，∴AM∥NB₁，由此能證明平面AMC₁∥平面NB₁C．

解答 證明：（1）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為2，AC₁⊥A₁B，M是A₁B₁的中點，
∴C₁M⊥AA₁，C₁M⊥A₁B₁，
又AA₁∩A₁B₁=A₁，∴C₁M⊥平面ABB₁A₁，A₁B?平面ABB₁A₁，
∴A₁B⊥C₁M，
又AC₁∩C₁M=C₁，∴A₁B⊥平面AMC₁．
（2）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為2，AC₁⊥A₁B，M是A₁B₁的中點，N是AB中點，
∴MC₁∥NC，MB₁$\underset{∥}{=}$AN，∴四邊形ANB₁M是平行四邊形，
∴AM∥NB₁，
∵AM∩C₁M=M，B₁N∩NC=N，AM，C₁M?平面AMC₁，NB₁，NC?平面NB₁C，
∴平面AMC₁∥平面NB₁C．

點評 本題考查線面垂直、面面平行的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．