Question

16．若F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點，A、C、D、B分別是此橢圓的左、右、上、下頂點，P是橢圓上一點．
（1）若∠F₁PF₂=60°，求△PF₁F₂的面積；
（2）若存在點P，使∠F₁PF₂=90°，求橢圓的離心率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知利用橢圓定義及余弦定理列出方程組，求出|PF₁|•|PF₂|=$\frac{4}{3}$b²，由此能求出△PF₁F₂的面積．
（2）點P在以F₁F₂為直徑的圓上，以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有公共點，以F₁F₂為直徑的圓的半徑r滿足：r=c≥b，由此能求出橢圓離心率的取值范圍．

解答 解：（1）∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點，P是橢圓上一點，∠F₁PF₂=60°，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2a}\\{cos60°=\frac{|P{F|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}}\end{array}\right.$，
解得|PF₁|•|PF₂|=$\frac{4}{3}$b²，
∴△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|•sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{3}^{2}$．
（2）∵P點滿足∠F₁PF₂=90°，∴點P在以F₁F₂為直徑的圓上
又∵P是橢圓上一點，∴以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有公共點，
∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點，
∴以F₁F₂為直徑的圓的半徑r滿足：r=c≥b，
兩邊平方，得c²≥b²，即c²≥a²-c²，∴2c²≥a²，
兩邊都除以a²，得2e²≥1，
∴e≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，結(jié)合0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1，即橢圓離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

點評 本題考查三角形面積的求法，考查橢圓離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系的合理運用．