Question

8．在用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asinx（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一周期內(nèi)的圖象時，列表并填人了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	①	2π	②	5π	③
Asin（ωx+φ）	0	2	④	-2	0

（1）請將上表中①②③④處數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
  （2）將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{2}{3}$，再將所得圖象向左平移π個單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求g（x）在z∈[-2π，2π]時的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)用五點(diǎn)法作函數(shù)f（x）=Asinx（ωx+φ）的圖象，求得表中①②③④處數(shù)據(jù)，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式．
（2）由條件利用 y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），再根據(jù)整弦函數(shù)的單調(diào)性求得g（x）在z∈[-2π，2π]時的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）由表格可得A=2，再根據(jù)ω•2π+φ=$\frac{π}{2}$，ω•5π+φ=$\frac{3π}{2}$，
求得ω=$\frac{1}{3}$，φ=-$\frac{π}{6}$，
令$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$=0，求得x=$\frac{π}{2}$ 故①為$\frac{π}{2}$．
令$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$=π，求得x=$\frac{7π}{2}$，Asin0=0，故②為$\frac{7π}{2}$，④為0．
令$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$=2π，求得x=$\frac{13π}{2}$，故③為$\frac{13π}{2}$．
函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$），
（2）將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{2}{3}$，得到y(tǒng)=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$），
再將所得圖象向左平移π個單位，得到y(tǒng)=g（x）=2sin[$\frac{1}{2}$（x+π）-$\frac{π}{6}$]=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）的圖象．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故g（x）在z∈[-2π，2π]時的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{5π}{3}$，$\frac{π}{3}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查用五點(diǎn)法作函數(shù)f（x）=Asinx（ωx+φ）的圖象，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．