Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3-ax}}{a-1}$（a≠1且a≠0）
①當(dāng)a＞1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義法證明．
②若函數(shù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a＞1，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出相應(yīng)的單調(diào)性；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)．根據(jù)（1）的結(jié)論即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由a＞1，3-ax≥0，即ax≤3，則x≤$\frac{3}{a}$，
此時(shí)y=3-ax為減函數(shù)
∵a＞1，則a-1＞0，則 $\frac{1}{a-1}$＞0，則此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，$\frac{3}{a}$]；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，
由（1）知，a＞1，且$\frac{3}{a}$≥1，即1＜a≤3，
0＜a＜1時(shí)，a-1＜0，f（x）遞增，不合題意，
a＜0時(shí)，f（x）在（0，1]遞減成立，
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的求解，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．