Question

20．在平面直角坐標系xOy中，已知直線y=x與圓心在第二象限的圓C相切于原點O，且圓C與圓C′：x²+y²-2x-2y-6=0的面積相等．
（Ⅰ）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）試探究圓C上是否存在異于原點的點Q，使點Q到定點F（4，0）的距離等于線段OF的長？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圓C與圓C′：x²+y²-2x-2y-6=0的面積相等，得到圓C的半徑r=2$\sqrt{2}$，設圓C的圓心為C（a，b），由已知得點O（0，0）在圓C上，且OC垂直于直線y=x，由此能求出圓心C（a，b），從而能求出圓C的方程．
（Ⅱ）假設存在點Q滿足題意，設Q（x，y），則由點Q在圓C上且點Q到定點F（4，0）的距離等于線段OF的長列出方程組，由此能求出存在點Q，使點Q到定點F（4，0）的距離等于線段OF的長．

解答 解：（Ⅰ）圓C′：x²+y²-2x-2y-6=0的方程轉化為（x-1）²+（y-1）²=8，（2分）
∵圓C與圓C′：x²+y²-2x-2y-6=0的面積相等，∴兩圓的半徑相等，∴圓C的半徑r=2$\sqrt{2}$，
設圓C的圓心為C（a，b），則圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=8，
∵直線y=x與圓心在第二象限的圓C相切于原點O，
∴點O（0，0）在圓C上，且OC垂直于直線y=x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=8}\\{\frac{a}=-1}\end{array}\right.$，解得a=2，b=-2或a=-2，b=2，
∵點C（a，b）在第二象限，∴a＜0，b＞0，∴a=-2，b=2，
∴圓C的方程為（x+2）²+（y-2）²=8．（6分）
（Ⅱ）假設存在點Q滿足題意，設Q（x，y），則有$\left\{\begin{array}{l}{（x-4）^{2}+{y}^{2}=16}\\{（x+2）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，（8分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}}\\{y=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍），
∴存在點Q（$\frac{4}{5}，\frac{12}{5}$），使點Q到定點F（4，0）的距離等于線段OF的長．（12分）

點評 本題考查圓的方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的方程、兩點間距離公式的合理運用．