Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x}$（b＞0）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線x+2y-1=0垂直，且函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，+∞）上是單調(diào)遞增，則b的最大值等于$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件可得a-b=2，再由題意可得a-$\frac{{x}^{2}}$≥0在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，即有$\frac{a}$≤x²的最小值，解b的不等式即可得到最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x}$（b＞0）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a-$\frac{{x}^{2}}$，
在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線斜率為k=a-b，
由切線與直線x+2y-1=0垂直，可得k=a-b=2，即a=b+2，
由函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，+∞）上是單調(diào)遞增，可得
a-$\frac{{x}^{2}}$≥0在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
即有$\frac{a}$≤x²的最小值，
由x≥$\frac{1}{2}$可得x²的最小值為$\frac{1}{4}$．
即有$\frac{b+2}$≤$\frac{1}{4}$，由b＞0，可得b≤$\frac{2}{3}$．
則b的最大值為$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查兩直線垂直的條件和不等式恒成立恒成立問題的解法，屬于中檔題．