Question

9．如圖，動(dòng)點(diǎn)M在圓x²+y²=8上，A（2，0）為一定點(diǎn)，則∠OMA的最大值為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 畫出圖形，結(jié)合圖形，利用余弦定理，求出cos∠OMA的最小值，即可得出∠OMA的最大值．

解答 解：設(shè)|MA|=a，則|OM|=2$\sqrt{2}$，|OA|=2，
由余弦定理知
cos∠OMA=$\frac{{OM}^{2}{+MA}^{2}{-OA}^{2}}{2OM•MA}$=$\frac{{（2\sqrt{2}）}^{2}{+a}^{2}-4}{2•2\sqrt{2}a}$=$\frac{1}{4\sqrt{2}}$•（$\frac{4}{a}$+a）≥$\frac{1}{4\sqrt{2}}$•2$\sqrt{\frac{4}{a}•a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)等號(hào)成立．
∴∠OMA≤$\frac{π}{4}$，即∠OMA的最大值為$\frac{π}{4}$，
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．