Question

16．已知數(shù)列{a_n}，且2a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=3ⁿ，則數(shù)列{a_n}的通項公式為${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{\frac{2}{n}×{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 2a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=3ⁿ，當n≥2時，2a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=3^n-1，相減可得a_n．當n=1時，2a₁=3，解得a₁．

解答 解：2a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=3ⁿ，
∴當n≥2時，2a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=3^n-1，
相減可得：na_n=3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1，
∴a_n=$\frac{2}{n}×{3}^{n-1}$．
當n=1時，2a₁=3，解得${a}_{1}=\frac{3}{2}$．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{\frac{2}{n}×{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{\frac{2}{n}×{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了遞推關系的應用、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．