Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點為A，O為坐標原點，若線段OA的中垂線與直線y=x的交點P恰在橢圓C上，且△OAP的面積為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線1：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點，點B為橢圓C的上頂點，若△BMN是以MN為底邊的等腰三角形，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知A（a，0），從而可得P（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），從而得方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（\frac{a}{2}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{a}{2}）^{2}}{^{2}}=1}\\{\frac{1}{2}•a•\frac{a}{2}=3}\end{array}\right.$，從而解得；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$化簡可得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-12=0，從而可得△=（6km）²-4（3k²+1）（3m²-12）＞0，化簡可得m²-4（3k²+1）＜0，再由韋達定理可得x₁+x₂=-$\frac{6km}{3{k}^{2}+1}$，y₁+y₂=$\frac{2m}{3{k}^{2}+1}$，從而可得$\frac{2-\frac{m}{3{k}^{2}+1}}{\frac{3km}{3{k}^{2}+1}}$•k=-1，從而化簡可得m=-（3k²+1），從而解得．

解答 解：（1）由題意知，A（a，0），
故線段OA的中垂線為x=$\frac{a}{2}$，
故線段OA的中垂線與直線y=x的交點P（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），
故$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（\frac{a}{2}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{a}{2}）^{2}}{^{2}}=1}\\{\frac{1}{2}•a•\frac{a}{2}=3}\end{array}\right.$，
解得，a²=12，b²=4，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，
∴（3k²+1）x²+6kmx+3m²-12=0，
∴△=（6km）²-4（3k²+1）（3m²-12）＞0，
即m²-4（3k²+1）＜0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；
故x₁+x₂=-$\frac{6km}{3{k}^{2}+1}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{3{k}^{2}+1}$，
故MN的中點的坐標為（-$\frac{3km}{3{k}^{2}+1}$，$\frac{m}{3{k}^{2}+1}$），
而B（0，2），
故$\frac{2-\frac{m}{3{k}^{2}+1}}{\frac{3km}{3{k}^{2}+1}}$•k=-1，
故m=-（3k²+1），
故m²-4（3k²+1）＜0可化為m²+4m＜0，
解得，-4＜m＜0．

點評 本題考查了學生的化簡運算能力及橢圓與直線的位置關系的判斷與應用．