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19.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若線段OA的中垂線與直線y=x的交點(diǎn)P恰在橢圓C上,且△OAP的面積為3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線1:y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)B為橢圓C的上頂點(diǎn),若△BMN是以MN為底邊的等腰三角形,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)由題意知A(a,0),從而可得P(a2,a2),從而得方程組{a22a2+a222=112aa2=3,從而解得;
(2)由{y=kx+mx2+3y212=0化簡(jiǎn)可得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-12=0,從而可得△=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-12)>0,化簡(jiǎn)可得m2-4(3k2+1)<0,再由韋達(dá)定理可得x1+x2=-6km3k2+1,y1+y2=2m3k2+1,從而可得2m3k2+13km3k2+1•k=-1,從而化簡(jiǎn)可得m=-(3k2+1),從而解得.

解答 解:(1)由題意知,A(a,0),
故線段OA的中垂線為x=a2,
故線段OA的中垂線與直線y=x的交點(diǎn)P(a2a2),
{a22a2+a222=112aa2=3,
解得,a2=12,b2=4,
故橢圓C的方程為x212+y24=1;
(2)∵{y=kx+mx2+3y212=0,
∴(3k2+1)x2+6kmx+3m2-12=0,
∴△=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-12)>0,
即m2-4(3k2+1)<0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2);
故x1+x2=-6km3k2+1,
y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m3k2+1,
故MN的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3km3k2+1,m3k2+1),
而B(niǎo)(0,2),
2m3k2+13km3k2+1•k=-1,
故m=-(3k2+1),
故m2-4(3k2+1)<0可化為m2+4m<0,
解得,-4<m<0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力及橢圓與直線的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用.

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