Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點Q（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P為橢圓C上異于其頂點的動點，O為坐標原點，過橢圓右焦點F₂作OP平行線交橢圓C于A、B兩點．
（i）試探究|OP|²和|AB|的比值是否為一個常數(shù)？若是，求出這個常數(shù)，若不是，請說明理由．
（ii）記△PF₂A的面積為S₁，△OF₂B的面積為S₂，令S=S₁+S₂，求證：S$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到a²=2b²，再把點的坐標代入橢圓方程得另一方程，聯(lián)立方程組求得a，b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）（i）設P（x₀，y₀）（-1＜y₀＜1且y₀≠0），則${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}=2$，求出OP的斜率，得到AB的斜率，進一步得到AB的方程，和橢圓方程聯(lián)立，由弦長公式求得AB的長度，結合P在橢圓上整體運算求得$\frac{|OP{|}^{2}}{|AB|}=\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{\sqrt{2}（2-{{y}_{0}}^{2}）}$=$\frac{2-{{y}_{0}}^{2}}{\sqrt{2}（2-{{y}_{0}}^{2}）}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（ii）畫圖可得${S}_{△O{F}_{2}B}={S}_{△P{F}_{2}B}$，從而有S=S₁+S₂ =S_△PAB，求出P到AB的距離，結合（i）求得的AB的長度，代入三角形面積公式即可證得答案．

解答 （Ⅰ）解：由題意知$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，a²=2b²，①
又點Q（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）在橢圓C上，∴$\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1$，②
聯(lián)立①②，解得a²=2，b²=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）（i）解：設P（x₀，y₀）（-1＜y₀＜1且y₀≠0），則${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}=2$，
∴${k}_{OP}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，則AB所在直線方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}（x-1）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}（x-1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得${x}^{2}-2{{y}_{0}}^{2}x+{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}=0$．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=2{{y}_{0}}^{2}，{x}_{1}{x}_{2}={{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}}\sqrt{4{{y}_{0}}^{4}-4{{y}_{0}}^{2}+4{{x}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{2}（2-{{y}_{0}}^{2}）$．
∴$\frac{|OP{|}^{2}}{|AB|}=\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{\sqrt{2}（2-{{y}_{0}}^{2}）}$=$\frac{2-{{y}_{0}}^{2}}{\sqrt{2}（2-{{y}_{0}}^{2}）}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴|OP|²和|AB|的比值是常數(shù)$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（ii）證明：如圖，
∵OP∥AB，∴${S}_{△O{F}_{2}B}={S}_{△P{F}_{2}B}$，
則S=S₁+S₂ =S_△PAB，
∵|AB|=$\sqrt{2}（2-{{y}_{0}}^{2}）$，
P到直線AB的距離為d=$\frac{|{y}_{0}{x}_{0}-{x}_{0}{y}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}=\frac{|{y}_{0}|}{\sqrt{2-{{y}_{0}}^{2}}}$．
∴$S={S}_{△PAB}=\frac{1}{2}•\sqrt{2}（2-{{y}_{0}}^{2}）•\frac{|{y}_{0}|}{\sqrt{2-{{y}_{0}}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{（2-{{y}_{0}}^{2}）•{{y}_{0}}^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{-{{y}_{0}}^{4}+2{{y}_{0}}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{-（{{y}_{0}}^{2}-1）^{2}+1}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的幾何性質，考查了直線和圓錐曲線的位置關系，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，題目運算量大，考查了學生的運算求解能力，是壓軸題．