Question

11．已知函f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+{x}^{2}+bx+c，x＜1}\\{alnx，x≥1}\end{array}\right.$的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且在（-1，f（-1））處
的切線的斜率是-5．
（Ⅰ）求實(shí)b、c的值；
（Ⅱ）f（x）在區(qū)[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)a，曲y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)y軸上？說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5，建立方程，可確定實(shí)數(shù)b，c的值；
（Ⅱ）進(jìn)而可確定函數(shù)的解析式，分類討論，求導(dǎo)函數(shù)，可得f（x）在[-1，1）上的最大值為2，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=alnx．對(duì)a討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論；
（Ⅲ）假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在y軸兩側(cè)．設(shè)P、Q的坐標(biāo)，由此入手能得到對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-x³+x²+bx+c，則f'（x）=-3x²+2x+b．
依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f′（-1）=-5}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-3-2+b=-5}\end{array}\right.$，
解得b=c=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{x}^{3}，x＜1}\\{alnx，x≥1}\end{array}\right.$，
①當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，f′（x）=-3x²+2x=-3x（x-$\frac{2}{3}$），
令f'（x）=0得x=0或x=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-1，0）	0	（0，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

又f（-1）=2，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{27}$，f（0）=0．∴f（x）在[-1，1）上的最大值為2．
②當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=alnx．當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）≤0，f（x）最大值為0；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增．∴f（x）在[1，2]最大值為aln2．
綜上，當(dāng)aln2≤2時(shí)，即a≤$\frac{2}{ln2}$時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為2；
當(dāng)aln2＞2時(shí)，即a＞$\frac{2}{ln2}$時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為aln2．
（Ⅲ）假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在y軸兩側(cè)．
不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），顯然t≠1
∵△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，
即-t²+f（t）（t³+t²）=0（*）
若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q．
若0＜t＜1，則f（t）=-t³+t²代入（*）式得：-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0
即t⁴-t²+1=0，而此方程無解，因此t＞1．此時(shí)f（t）=alnt，
代入（*）式得：-t²+（alnt）（t³+t²）=0即$\frac{1}{a}$=（t+1）lnt（**）
令h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則h′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1＞0，
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵t＞1∴h（t）＞h（1）=0，∴h（t）的取值范圍是（0，+∞）．
∴對(duì)于a＞0，方程（**）總有解，即方程（*）總有解．
因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q，
使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角
三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)，難度大．