Question

6．要使函數(shù)y=1+2^x+4^xa在x∈（-∞，-1]時(shí)，y＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意，得1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，即a＞-$\frac{1+{2}^{x}}{{4}^{x}}$在x∈（-∞，1]上恒成立．運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的值域求法，可得最大值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答 解：由題意，得1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即a＞-$\frac{1+{2}^{x}}{{4}^{x}}$在x∈（-∞，1]上恒成立．
又∵-$\frac{1+{2}^{x}}{{4}^{x}}$=-（$\frac{1}{2}$）^2x-（$\frac{1}{2}$）^x=-[（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{2}$]²+$\frac{1}{4}$，
當(dāng)x∈（-∞，-1]時(shí)，（$\frac{1}{2}$）^x∈[2，+∞），
-$\frac{1+{2}^{x}}{{4}^{x}}$≤-（2+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$=-6，
∴a＞-6．
即a的取值范圍是（-6，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問(wèn)題是解決這類(lèi)問(wèn)題常用的方法．