Question

1．設(shè){a_n}是公差大于零的等差數(shù)列，已知a₁=3，a₃=a₂²-27．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè){b_n}是以函數(shù)y=4sin²πx的最小正周期為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出數(shù)列{a_n}的公差為d，然后求解a_n．
（2）求出函數(shù)y=4sin²πx的最小正周期得到{b_n}首項(xiàng)，利用公比q=2，求出${b_n}={2^{n-1}}$，利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
則$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\{a_1}+2d={（{a_1}+d）^2}-27\end{array}\right.$，解得d=3或d=-7（舍），…（3分）
∴a_n=3+3（n-1）=3n． …（5分）
（2）∵$y=4{sin^2}πx=4×\frac{1-cos2πx}{2}=-2cos2πx+2$，
其最小正周期為$\frac{2π}{2π}=1$，故數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為1，
∵公比q=2，∴${b_n}={2^{n-1}}$，∴${a_n}{b_n}=3n•{2^{n-1}}$…（7分）
∴${S_n}=3（1•{2^0}+2•{2^1}+3•{2^2}+…+n•{2^{n-1}}）$，
令${T_n}=1•{2^0}+2•{2^1}+3•{2^2}+…+n•{2^{n-1}}$，…①，
兩邊都乘以2得，$2{T}_{n}=1•{2}^{1}+2•{2}^{2}+3•{2}^{3}+…+n•{2}^{n}$…②
②-①得，${T_n}=-（1+2+{2^2}+{2^3}+…+{2^{n-1}}）+n•{2^n}$
=$n•{2^n}-\frac{{1-{2^n}}}{1-2}=n•{2^n}-（{2^n}-1）=（n-1）•{2^n}+1$…（11分）
故，${S_n}=3（n-1）•{2^n}+3$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和的方法，三角函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．