Question

10．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點B為圓O：x²+y²=a²與y軸的交點，過點B的直線l（斜率為正）與橢圓相切于點D，并交x軸于點C，O為坐標原點，如圖．
（Ⅰ）若切點坐標為D（-1，$\frac{3}{2}$），求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線l與圓O的另一交點為A，且滿足$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DA}$，求橢圓E的離心率．

Answer 1

分析 （I）B（0，a），切線l的方程為：y=$\frac{a-\frac{3}{2}}{0-（-1）}$x+a，即y=$（a-\frac{3}{2}）$x+a．與橢圓方程聯(lián)立可得$[^{2}+{a}^{2}（a-\frac{3}{2}）^{2}]$x²+$2{a}^{3}（a-\frac{3}{2}）$x+a⁴-a²b²=0，由于直線與橢圓相切可得：△=0．由于切點D（-1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，可得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}$=1，聯(lián)立解出即可．
（II）B（0，a）．設直線l的方程為：y=kx+a（k＞0），與橢圓方程聯(lián)立化為（b²+a²k²）x²+2a³kx+a⁴-a²b²=0，由于直線與橢圓相切，可得△=0，化為a²-b²=a²k²．解得c=ak，D（-c，$\frac{^{2}}{a}$）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（1+k²）x²+2kax=0，解得A，利用$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DA}$，解出即可．

解答 解：（I）B（0，a），切線l的方程為：y=$\frac{a-\frac{3}{2}}{0-（-1）}$x+a，即y=$（a-\frac{3}{2}）$x+a．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=（a-\frac{3}{2}）x+a}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為$[^{2}+{a}^{2}（a-\frac{3}{2}）^{2}]$x²+$2{a}^{3}（a-\frac{3}{2}）$x+a⁴-a²b²=0，
∵直線與橢圓相切可得：△=$4{a}^{6}（a-\frac{3}{2}）^{2}$-4$[^{2}+{a}^{2}（a-\frac{3}{2}）^{2}]$（a⁴-a²b²）=0，．
化為a²-b²-${a}^{2}（a-\frac{3}{2}）^{2}$=0．
∵切點D（-1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}$=1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}-{a}^{2}（a-\frac{3}{2}）^{2}=0}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）B（0，a）．
設直線l的方程為：y=kx+a（k＞0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+a}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為（b²+a²k²）x²+2a³kx+a⁴-a²b²=0，
∵直線與橢圓相切，∴△=4a⁶k²-4（b²+a²k²）（a⁴-a²b²）=0，
化為a²-b²=a²k²．
解得c=ak，D（-c，$\frac{^{2}}{a}$）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+a}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，化為（1+k²）x²+2kax=0，
解得A$（-\frac{2ka}{1+{k}^{2}}，\frac{a-{k}^{2}a}{1+{k}^{2}}）$．
∵$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DA}$，
∴x_D=2（$\frac{-2ka}{1+{k}^{2}}$-x_D），
化為a²=3c²，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切性質(zhì)、一元二次方程的解法、向量的坐標運算，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．