Question

5．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點(diǎn)（0，$\sqrt{2}$）是橢圓與y軸的一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線x=2與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，P點(diǎn)位于是第一象限，A，B是橢圓上位于直線x=2兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)；
①若直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，求四邊形APBQ面積的取值范圍；
②當(dāng)點(diǎn)A，B在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且滿足∠APQ=∠BPQ時(shí)，直線AB的斜率是否為定值？若是，求出此定值，若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，由橢圓性質(zhì)求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）①設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為$y=\frac{1}{2}x+t$，與橢圓聯(lián)立，得x²+2tx+2t²-4=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長公式求出四邊形APBQ面積的取值范圍．
②當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí)，設(shè)直線PA的方程為y-1=k（x-2），則直線PB的方程為y-1=-k（x-2），分別與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理能求出直線AB的斜率為定值$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由題意可知，$b=\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，{a^2}={b^2}+{c^2}$，解得，$a=2\sqrt{2}$，…（3分）
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$．…（4分）
（2）①設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為$y=\frac{1}{2}x+t$，
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1}\\{y=\frac{1}{2}x+t}\end{array}}\right.$，消y可得，2x²+4tx+4t²-8=0，即x²+2tx+2t²-4=0，
則有${x_1}+{x_2}=-2t，{x_1}{x_2}=2{t^2}-4$，…（6分）
對于$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$，令x=2，得P（2，1），Q（2，-1），
將P，Q分別代入直線可得，t=0，t=-2，
由點(diǎn)A，B在直線x=2的兩側(cè)，故-2＜t＜0，
四邊形APBQ的面積為：
$S={S_{△APQ}}+{S_{△BPQ}}=\frac{1}{2}|PQ|•|{x_2}-{x_1}|$
=$\frac{1}{2}×2×|{x_2}-{x_1}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{4{t^2}-4（2{t^2}-4）}=\sqrt{-4{t^2}+16}$，
而-2＜t＜0，所以，0＜S_{四邊形APBQ}＜4．…（9分）
②當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí)，直線PA，PB的斜率之和為0，
不妨設(shè)直線PA的斜率為k，則直線PB的斜率為-k，
所以直線PA的方程為y-1=k（x-2），即kx-y+1-2k=0，
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{kx-y+1-2k=0}\\{\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，消y可得，（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+4（1-2k）²-8=0，
所以${x_1}+2=\frac{8k（2k-1）}{{1+4{k^2}}}$，…（11分）
同理直線PB的方程為y-1=-k（x-2）
可得，${x_2}+2=\frac{-8k（-2k-1）}{{1+4{k^2}}}=\frac{8k（2k+1）}{{1+4{k^2}}}$，…（12分）
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{16{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}，{x_1}-{x_2}=\frac{-16k}{{1+4{k^2}}}$，
故${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{k（{x_1}-2）+1+k（{x_2}-2）-1}}{{{x_1}-{x_2}}}$=$\frac{{k（{x_1}+{x_2}）-4k}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{k•\frac{{16{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}-4k}}{{\frac{-16k}{{1+4{k^2}}}}}=\frac{1}{2}$，
∴直線AB的斜率為定值$\frac{1}{2}$．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積的取值的求法，考查直線的斜率是否為定值的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、弦長公式的合理運(yùn)用．