Question

10．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，右準(zhǔn)線的方程為：x=4，左焦點(diǎn)是F（-1，0）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q是橢圓上一點(diǎn)，過F，Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，若|$\overrightarrow{MQ}$|=2|$\overrightarrow{QF}$|，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{c}=4}\\{c=1}\end{array}\right.$，由此能求出橢圓方程；
（Ⅱ）由|$\overrightarrow{MQ}$|=2|$\overrightarrow{QF}$|，可得$\overrightarrow{MQ}$=2$\overrightarrow{QF}$，或$\overrightarrow{MQ}$=-2$\overrightarrow{QF}$，分別討論，運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示和橢圓方程，由此能求出直線l的斜率．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{c}=4}\\{c=1}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，b²=4-1=3，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）∵|$\overrightarrow{MQ}$|=2|$\overrightarrow{QF}$|，
∴$\overrightarrow{MQ}$=2$\overrightarrow{QF}$，或$\overrightarrow{MQ}$=-2$\overrightarrow{QF}$，
當(dāng)$\overrightarrow{MQ}$=2$\overrightarrow{QF}$時(shí)，點(diǎn)Q分$\overrightarrow{MF}$的比為2，
∴x_Q=-$\frac{2}{3}$，y_Q=$\frac{k}{3}$．
又點(diǎn)Q在橢圓上，
代入橢圓方程，得$\frac{（-\frac{2}{3}）^{2}}{4}$+$\frac{（\frac{k}{3}）^{2}}{3}$=1，
解得k=±2$\sqrt{6}$．
當(dāng)$\overrightarrow{MQ}$=-2$\overrightarrow{QF}$時(shí)，x_Q=-2，y_Q=0，此時(shí)k=0．
∴直線l的斜率為±2$\sqrt{6}$或0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．