Question

15．已知函數(shù)$f（x）={log_a}（\sqrt{{x^2}+1}+x）$．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）若兩個函數(shù)F（x）與G（x）在閉區(qū)間[p，q]上恒滿足|F（x）-G（x）|＞2，則稱函數(shù)F（x）與G（x）在閉區(qū)間[p，q]上是分離的．是否存在實(shí)數(shù)a使得y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）與g（x）=a^x在閉區(qū)間[1，2]上分離？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）容易判斷f（x）的定義域?yàn)镽，且可得出f（-x）=-f（x），從而得出f（x）在R上為奇函數(shù)；
（2）可以求出${f}^{-1}（x）=\frac{1}{2}（{a}^{x}-\frac{1}{{a}^{x}}）$，從而得到$|{f}^{-1}（x）-g（x）|=\frac{1}{2}（{a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}）$，可假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使得y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）與g（x）=a^x在閉區(qū)間[1，2]上分離，即有${a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}＞4$在閉區(qū)間[1，2]上恒成立．可令$h（x）={a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}$，設(shè)a^x=t，t∈[a，a²]，討論a：a＞1時(shí)，t=a^x為增函數(shù)，并且$y=t+\frac{1}{t}$為增函數(shù)，從而得出h（x）在[1，2]上為增函數(shù)，從而得到h（x）的最小值h（1）=$a+\frac{1}{a}＞4$，解該不等式即可得出a的一個范圍；而同理可得出0＜a＜1時(shí)的a的一個范圍，這兩個范圍求并集即為實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵$\sqrt{{x^2}+1}+x＞\sqrt{x^2}+x≥0$；
∴f（x）的定義域?yàn)镽；
∵$f（-x）={log_a}（\sqrt{{x^2}+1}-x）$=${log_a}\frac{1}{{\sqrt{{x^2}+1}+x}}=-{log_a}（\sqrt{{x^2}+1}+x）=-f（x）$；
即f（-x）=-f（x）；
∴f（x）為R上的奇函數(shù)；
（2）∵x∈R，∴y∈R；
由$y={log_a}（\sqrt{{x^2}+1}+x）$得${a^y}=\sqrt{{x^2}+1}+x$；
∴$\sqrt{{x^2}+1}={a^y}-x$
兩邊平方整理后得：$x=\frac{1}{2}（{a^y}-\frac{1}{a^y}）$；
∴${f^{-1}}（x）=\frac{1}{2}（{a^x}-\frac{1}{a^x}），x∈R$；
∴$|{{f^{-1}}（x）-g（x）}|=\frac{1}{2}（{a^x}+\frac{1}{a^x}）$；
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使得y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）與g（x）=a^x在閉區(qū)間[1，2]上分離；
所以|f^-1（x）-g（x）|＞2，即${a^x}+\frac{1}{a^x}＞4$在閉區(qū)間[1，2]上恒成立；
令$h（x）={a^x}+\frac{1}{a^x}$，t=a^x，x∈[1，2]
當(dāng)a＞1時(shí)，t=a^x在[1，2]上為增函數(shù)，t∈[a，a²]，$y=t+\frac{1}{t}$在[a，a²]上為增函數(shù)；
∴h（x）在[1，2]上為增函數(shù)；
∴$h{（x）_{min}}=h（1）=a+\frac{1}{a}$；
由$a+\frac{1}{a}＞4$解得$a＞2+\sqrt{3}$或$a＜2-\sqrt{3}$，∴$a＞2+\sqrt{3}$；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)同理可得$h（x）={a^x}+\frac{1}{a^x}$在[1，2]上為增函數(shù)；
∴$h{（x）_{min}}=h（1）=a+\frac{1}{a}$；
由$a+\frac{1}{a}＞4$解得$a＞2+\sqrt{3}$或$a＜2-\sqrt{3}$；
∴$0＜a＜2-\sqrt{3}$；
綜上所述：存在a使得y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）與g（x）=a^x在閉區(qū)間[1，2]上分離，且a的取值范圍為$（0，2-\sqrt{3}）∪（2+\sqrt{3}，+∞）$．

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)，偶函數(shù)的定義及判斷方法和過程，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，反函數(shù)的概念，以及求一個函數(shù)的反函數(shù)的方法和過程，指數(shù)式和對數(shù)式的互化，復(fù)合函數(shù)單調(diào)的判斷，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，清楚$y=x+\frac{1}{x}$的單調(diào)性，一元二次不等式的解法．