Question

5．下列命題中，正確的是（1）（3）（4）（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）
（1）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，則△ABC為銳角三角形；
（2）設(shè)f（sinx+cosx）=sinxcosx，則f（cos$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$；
（3）x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）的一條對(duì)稱軸方程；
（4）已知函數(shù)f（x）滿足下面關(guān)系：（1）f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x-$\frac{π}{2}$）；（2）當(dāng)x∈（0，π]時(shí)，f（x）=-cosx，則方程f（x）=lg|x|解的個(gè)數(shù)是8個(gè)．

Answer 1

分析 設(shè)A，B均為銳角，推導(dǎo)出C也為銳角，可判斷（1）；求出f（cos$\frac{π}{6}$）的值，可判斷（2）；根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性，可判斷（3）；畫出函數(shù)f（x）的圖象，并判斷其與y=lg|x|圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可判斷（4）．

解答 解：由題意可得A，B，C不能為直角，故可設(shè)A，B均為銳角，
又tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanA•tanB）+tanC=-tanC（1-tanAtanB）+tanC=tanA•tanB•tanC＞0，
∴tanC＞0，tanA＞0，tanB＞0，或一正、二負(fù)（舍），即A、B、C均為銳角，
故△ABC為銳角三角形，
故（1）正確．
∵f（sinx+cosx）=sinxcosx=$\frac{（sinx+cosx）^{2}-1}{2}$，
故f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2}$，
故f（cos$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\frac{1}{8}$，
故（2）錯(cuò)誤；
當(dāng)x=$\frac{π}{8}$時(shí)，y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）取最小值，
故x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）的一條對(duì)稱軸方程，
故（3）正確；
（4）∵f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x-$\frac{π}{2}$）；
∴函數(shù)f（x）的周期為π，
∵當(dāng)x∈（0，π]時(shí)，f（x）=-cosx，
∴函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：兩函數(shù)圖象共有8個(gè)交點(diǎn)，
即方程f（x）=lg|x|解的個(gè)數(shù)是8個(gè)．
故（4）正確；
故答案為：（1）（3）（4）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假故判斷與應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．