Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+3|+|x-a|的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（1）在（1）的條件下若f（x）≥t²-3t對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）|x+1|、|x-a|在數(shù)軸上表示點(diǎn)x到點(diǎn)-3、a的距離，可得因此點(diǎn)-3、a關(guān)于x=-1對(duì)稱，得出a=1；
（2）不等式可整理為|x+3|+|x-1|≥t²-3t對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，只需求出左式的最小值即可．利用絕對(duì)值不等式可得出．

解答 解：（1）|x+1|、|x-a|在數(shù)軸上表示點(diǎn)x到點(diǎn)-3、a的距離，
他們的和f（x）=|x+1|+|x-a|關(guān)于x=-1對(duì)稱，
因此點(diǎn)-3、a關(guān)于x=-1對(duì)稱，
所以a=1；
（2）f（x）=|x+3|+|x-1|，
∵f（x）≥t²-3t對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
∴|x+3|+|x-1|≥t²-3t對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
∵|x+3|+|x-1|≥4，
∴t²-3t-4≤0，
∴-1≤t≤4．

點(diǎn)評(píng) 考查了絕對(duì)值函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題和恒成立問(wèn)題的 轉(zhuǎn)化，絕對(duì)值不等式的應(yīng)用．