Question

20．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=$\frac{1}{2}$，且滿足$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n+2}$，n∈N^*，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前10項(xiàng)和S₁₀=65．

Answer 1

分析 運(yùn)用數(shù)列的恒等式a_n=a₁•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{n+1}$，再由等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：a₁=$\frac{1}{2}$，且$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n+2}$，
可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n+1}$（n≥2），
即有a_n=a₁•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$，
則$\frac{1}{{a}_{n}}$=n+1，
前10項(xiàng)和S₁₀=2+3+…+11
=$\frac{1}{2}$×（2+11）×10=65．
故答案為：65．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的恒等式，考查等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題．