3．已知函數(shù)f（x）=log2（1-x）-log2（x+a）為奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調性．

分析 （1）利用f（0）=0，建立方程，即可求a的值；
（2）考慮內、外函數(shù)的單調性，即可得出結論．

解答 解：（1）∵f（x）=log2（1-x）-log2（x+a）為奇函數(shù)，
∴f（0）=log2（1-0）-log2（0+a）=0，
∴a=1；
（2）f（x）=log2（1-x）-log2（1+x）=log2$\frac{1-x}{1+x}$．
令t=$\frac{1-x}{1+x}$（-1＜x＜1），則t′=$\frac{-2}{（1+x）^{2}}$＜0，
∴t=$\frac{1-x}{1+x}$在（-1，1）上單調遞減，
∵y=log2t在（0，+∞）上單調遞增，
∴f（x）=log2$\frac{1-x}{1+x}$在（-1，1）上單調遞減．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$\sqrt{3}c=a•sinC-\sqrt{3}c•cosA$
（1）求A；
（2）若$a=2\sqrt{3}$，△ABC的面積$S=\sqrt{3}$．求b，c．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

14．函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=-3x+6的公共點橫坐標所在區(qū)間為（k，k+1），則整數(shù)k=1．（寫出所有滿足條件的整數(shù)k的值）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

11．已知點P（x，y）的坐標滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤4}\\{y≥x}\\{x≥1}\end{array}\right.$，則函數(shù)z=$\frac{y}{x+1}$的最大和最小值分別為（　�。�
A．$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$B．$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$C．$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$D．$-\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

18．已知x、y∈R+，求證：$\sqrt{（1+x）（1+y）}$≥1+$\sqrt{xy}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．求函數(shù)f（x）=ex+2x+3的零點所在的區(qū)間，以及零點的個數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

15．解下列不等式：
（1）|2x+3|≤2；
（2）|x-1|+|x-3|＞4．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．設命題p：t2-3t+2＜0；命題q：函數(shù)f（x）=3x2+2tx+t+$\frac{4}{3}$=0有不等根．
（1）若“p∨q”為假命題，求t的取值范圍；
（2）若“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，求t的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．求不等式x-1＜log5（x+3）的所有整數(shù)解．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案