Question

18．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₅=14，a₇=20；數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且b_n=2-2S_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項公式可得a_n，利用遞推關(guān)系可得b_n．
（II）“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （I）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的給出為d，∵a₅=14，a₇=20；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=14}\\{{a}_{1}+6d=20}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=3．
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且b_n=2-2S_n．
當(dāng)n=1時，b₁=2-2b₁，解得b₁=$\frac{2}{3}$．
當(dāng)n≥2時，b_n-1=2-2S_n-1，∴b_n-b_n-1=-2b_n，化為$_{n}=\frac{1}{3}_{n-1}$．
∴{b_n}是等比數(shù)列，首項為$\frac{2}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$．
∴b_n=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=$2×\frac{1}{{3}^{n}}$．
∴a_nb_n=2×（3n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$．
（II）證明：設(shè)a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=T_n．
∴T_n=$2[2×\frac{1}{3}+5×\frac{1}{{3}^{2}}+8×\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$（3n-1）×\frac{1}{{3}^{n}}]$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=2$[2×\frac{1}{{3}^{2}}+5×\frac{1}{{3}^{3}}$+…+（3n-4）×$\frac{1}{{3}^{n}}$+（3n-1）×$\frac{1}{{3}^{n+1}}]$，
$\frac{2}{3}{T}_{n}$=2$[\frac{2}{3}+3×\frac{1}{{3}^{2}}$+…+3×$\frac{1}{{3}^{n}}$-（3n-1）×$\frac{1}{{3}^{n+1}}]$=2$[\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$-（3n-1）×$\frac{1}{{3}^{n+1}}]$=2$（\frac{7}{6}-\frac{6n+7}{2×{3}^{n+1}}）$，
∴T_n=$\frac{7}{2}$-$\frac{6n+7}{2×{3}^{n}}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．