Question

8．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），并且滿足三個條件：①對任意的x，y∈R⁺，都有f（x+y）=f（x）f（y）；②對任意的x∈R⁺，都有0＜f（x）＜1；③f（2）=$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求f（1），f（3）的值；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）為區(qū)間（0，+∞）上的減函數(shù)；
（Ⅲ）解不等式：f（2x）＜$\frac{1}{32}$f（-x²+6x-8）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用賦值法，求f（1），f（3）的值；
（Ⅱ）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f（x）為區(qū)間（0，+∞）上的減函數(shù)；
（Ⅲ）不等式：f（2x）＜$\frac{1}{32}$f（-x²+6x-8），可化為不等式：f（2x）＜f（5）f（-x²+6x-8），利用單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：令x=y=1，則f（2）=f（1）•f（1）=$\frac{1}{4}$，
∵對任意的x∈R⁺，都有0＜f（x）＜1，∴f（1）=$\frac{1}{2}$；
f（3）=f（1+2）=f（1）f（2）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$；
（Ⅱ）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞），
∵對任意的x∈R⁺，都有0＜f（x）＜1，
∴f（x₂）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$•x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）f（x₁）＜f（x₁）
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可得f（5）=$\frac{1}{32}$．
不等式：f（2x）＜$\frac{1}{32}$f（-x²+6x-8），可化為不等式：f（2x）＜f（5）f（-x²+6x-8）．
∴2x＞-x²+6x-3＞0且-x²+6x-8＞0．
∴3＜x＜4，
∴不等式的解集為{x|3＜x＜4}．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生解不等式的能力，屬于中檔題．