Question

9．設f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）．
若f（3）=1，f（a）＞f（a-1）+2，則a的取值范圍（1，$\frac{9}{8}$）．

Answer 1

分析 運用賦值法，令x=y=3，求出f（9）=2，再由f（xy）=f（x）+f（y），將f（a）＞f（a-1）+2變形為f（a）＞f（9a-9），再根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，列出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1＞0}\\{a＞9a-9}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：∵f（3）=1，f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=3，則f（9）=f（3）+f（3）=2f（3）=2，
即f（9）=2，
∵f（a）＞f（a-1）+2，
∴f（a）＞f（a-1）+f（9），
∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（a-1）+f（9）=f（9a-9），
∴f（a）＞f（9a-9），
∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1＞0}\\{a＞9a-9}\end{array}\right.$，∴1＜a＜$\frac{9}{8}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是：（1，$\frac{9}{8}$）．
故答案為：（1，$\frac{9}{8}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及應用，注意不要忘記函數(shù)的定義域，同時考查解決抽象函數(shù)問題常用的方法：賦值法，注意條件的反復運用和靈活運用．