Question

13．已知圓C：（x-2）²+y²=1，若直線y=k（x+1）上存在點(diǎn)P，使得過P向圓C所作兩條切線所成角為$\frac{π}{3}$，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為$[{-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}]$．

Answer 1

分析 由題意可得圓心為C（2，0），半徑R=1；設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A、B，則由題意可得可得PC=2，圓心到直線y=k（x+1）的距離小于或等于PC=2，即$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，由此求得k的范圍．

解答 解：圓C：（x-2）²+y²=1的圓心為C（2，0），半徑R=1．
設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A、B，則由題意可得PC=2，
∴圓心到直線y=k（x+1）的距離小于或等于PC=2，
即$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，解得k²≤$\frac{4}{5}$，可得k∈$[{-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}]$．
故答案為：$[{-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．