Question

19．求函數(shù)y=（log₂$\frac{x}{2}$）（log₂$\frac{x}{4}$）的值域，其中x滿足-3≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)即可得到結(jié)論．

解答 解：∵-3≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤-$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{2}$≤log₂x≤3，
設(shè)log₂x=t，則$\frac{1}{2}$≤t≤3，
∵y=（log₂$\frac{x}{2}$）（log₂$\frac{x}{4}$）=（log₂x-1）（log₂x-2），
∴f（t）=（t-1）（t-2）=t²-3t+2=（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴f（t）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上單調(diào)遞減，在（$\frac{3}{2}$，3]上單調(diào)遞增，
∴f（t）_min=-$\frac{1}{4}$，f（t）_max=f（3）=9-9+2=2，
∴-$\frac{1}{4}$≤f（t）≤2，
∴函數(shù)y=（log₂$\frac{x}{2}$）（log₂$\frac{x}{4}$）的值域?yàn)閇-$\frac{1}{4}$，2]．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值域的計(jì)算，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．