Question

20．已知函數(shù)f（x）=aln（x-1）+x²-3x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f （x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為x+y-1=0，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間〔2，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（2）=-1，f′（2）=-1，列出方程，解方程可得a，b的值；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{a}{x-1}$+2x-3≥0在區(qū)間〔2，+∞）上恒成立，即有a≥（x-1）（3-2x）對(duì)x≥2恒成立，運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性可得最大值，即可得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=aln（x-1）+x²-3x+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a}{x-1}$+2x-3，
函數(shù)f （x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為x+y-1=0，
即有f（2）=-1，f′（2）=-1，
即b-2=-1，a+1=-1，解得a=-2，b=1；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{a}{x-1}$+2x-3≥0在區(qū)間〔2，+∞）上恒成立，
即有a≥（x-1）（3-2x）對(duì)x≥2恒成立，
由y=（x-1）（3-2x）=-2x²+5x-3的對(duì)稱(chēng)軸為x=$\frac{5}{4}$＜2，
可得函數(shù)y在[2，+∞）遞減，即有x=2處取得最大值-1，
則a≥-1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．