Question

7．觀察此表：
1，
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…問：
（1）此表第n行的最后一個(gè)數(shù)是多少？
（2）此表第n行的各個(gè)數(shù)之和是多少？
（3）2008是第幾行的第幾個(gè)數(shù)？

Answer 1

分析 （1）觀察此表可以得出此表n行的第1個(gè)數(shù)為2^n-1，第n行共有2^n-1個(gè)數(shù)，依次構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，由此可得出n行最后一個(gè)數(shù)的表達(dá)式；
（2）第n行共有2^n-1個(gè)數(shù)，依次構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，故由等差數(shù)列的求各公式求出第n行的各個(gè)數(shù)之和；
（3）先運(yùn)用公式判斷是第幾行的數(shù)，再判斷是第幾個(gè)數(shù)

解答 解：（1）此表第n行的第1個(gè)數(shù)為2^n-1，
故第n+1行的第1個(gè)數(shù)為2ⁿ，
∴第n行的最后一個(gè)數(shù)是2ⁿ-1；
（2）由等差數(shù)列的求和公式，此表第n行的各個(gè)數(shù)之和為：
$\frac{1}{2}（1+{2}^{n}-1）•（{2}^{n}-1）$-$\frac{1}{2}（1+{2}^{n-1}-1）•（{2}^{n-1}-1）$
=2^2n-2+2^2n-3-2^n-2．
（3）∵2¹⁰=1 024，2¹¹=2 048，1 024＜2 008＜2 048，
∴2 008在第11行，該行第1個(gè)數(shù)是2¹⁰=1 024．
由2 008-1 024+1=985，知2 008是第11行的第985個(gè)數(shù)

點(diǎn)評(píng) 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．