Question

12．已知f（x）是二次函數，若f（x）的最小值為2，且f（0）=f（2）=3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求f（x）在區(qū)間[t，t+1]（t∈R）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）可得對稱軸為x=1，可設f（x）=a（x-1）²+1，由f（0）=3，求出a的值即可；
（2）分類討論f（x）的單調性，根據單調性求出最值．

解答 解：（1）由f（0）=f（2）=3知，對稱軸為x=1，又因為最小值為2，
所以設f（x）=a（x-1）²+2，f（0）=3，得a=1，
所以f（x）=（x-1）²+2；
（2）由（1）知，對稱軸為x=1，
當t+1≤1時，即t≤0時，$f{（x）_{min}}=f（t+1）={t^2}+2$；
當t＜1＜t+1時，即0＜t＜1時，f（x）_min=f（1）=2；
當t≥1時，$f{（x）_{min}}=f（t）={t^2}-2t+3$；
綜上所述，$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}{t^2}+2，\;t≤0\\ 2，\;0＜t＜1\\{t^2}-2t+3，\;t≥1\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查了二次函數的性質，以及二次函數在閉區(qū)間上的最值，同考查了分類討論的數學思想，屬于基礎題．