Question

15．方程x²+（2k-1）x+k²=0的兩根均大于1的充要條件是k＜-2．

Answer 1

分析 解法一，將兩個根都減去1將已知中的兩個大于1的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)都大于0轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)的和大于0同時積大于0，利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為k的不等式，求出k的范圍．
解法二，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象從對稱軸與區(qū)間的關(guān)系、區(qū)間兩個端點的函數(shù)值的符號、判別式三個方面加以限制，寫出充要條件．

解答 解：法一：∵x²+（2k-1）x+k²=0，則方程有兩個大于1的實數(shù)根x₁、x₂：
$\begin{array}{l}?\left\{\begin{array}{l}△={（2k-1）^2}-4{k^2}≥0\\（{x_1}-1）（{x_2}-1）＞0\\（{x_1}-1）+（{x_2}-1）＞0\end{array}\right.\end{array}$
$?\left\{\begin{array}{l}k≤\frac{1}{4}\\{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1＞0\\（{x_1}+{x_2}）-2＞0\end{array}\right.$
$?\left\{\begin{array}{l}k≤\frac{1}{4}\\{k^2}+（2k-1）+1＞0\\-（2k-1）-2＞0\end{array}\right.?k＜-2$
所以使方程有兩個大于1的實根的充要條件是：k＜-2         
法二：∵方程x²+（2k-1）x+k²=0對應(yīng)的函數(shù)為f（x）=x²+（2k-1）x+k²
方程x²+（2k-1）x+k²=0有兩個大于1的實數(shù)根
$\begin{array}{l}?\left\{\begin{array}{l}△={（2k-1）^2}-4{k^2}≥0\\-\frac{（2k-1）}{2}＞1\\ f（1）={k^2}+2k＞0\end{array}\right.\end{array}$$?\left\{\begin{array}{l}k≤\frac{1}{4}\\ k＜-\frac{1}{2}\\ k＜-2或k＞0\end{array}\right.$
?k＜-2
所以使方程有兩個大于1的實根的充要條件是：k＜-2，
故答案為：k＜-2；

點評 本題主要考查充要條件的求解，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，利用構(gòu)造函數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．注意對稱軸與區(qū)間的關(guān)系、區(qū)間兩個端點的函數(shù)值的符號、判別式三個方面加以限制即可．