Question

15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a²+b²=2a+6b-10，且c²=a²+b²+ab，則△ABC的面積為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 由a²+b²=2a+6b-10，移項，配方可得（a-1）²+（b-3）²=0，解得：a=1，b=3，又c²=a²+b²+ab及余弦定理可得cosC=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合C∈（0，π），可得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：∵a²+b²=2a+6b-10，
∴（a-1）²+（b-3）²=0，解得：a=1，b=3，
又∵c²=a²+b²+ab，即：a²+b²-c²=-ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
∴結(jié)合C∈（0，π），可得：C=$\frac{2π}{3}$，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$1×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題．