Question

5．如圖，E、F、G、H分別為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、CC₁、D₁A₁的中點，證明：E、F、G、H四點共面．

Answer 1

分析 取D₁C₁中點M，連結(jié)EF、FG、GM、MH、HE、A₁C₁、AC、BC₁、EM，由平行公理得EF∥MH，從而E、F、M、H共面于平面EFMH，又EM∥BC₁，從而E、F、G、M共面于平面EFGM，由此能證明E、F、G、H四點共面．

解答 證明：取D₁C₁中點M，連結(jié)EF、FG、GM、MH、HE、A₁C₁、AC、BC₁、EM，
∵E、F、G、M、H分別為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、CC₁、D₁C₁、D₁A₁的中點，
∴MH∥A₁C₁，EF∥AC，又AC∥A₁C₁，∴EF∥MH，
∴E、F、M、H共面于平面EFMH，
∵EB$\underset{∥}{=}$MC₁，∴EBC₁M是平行四邊形，∴EM∥BC₁，
∵GF∥BC₁，∴GF∥EM，
∴E、F、G、M共面于平面EFGM，
∵平面EFMH和平面EFGM有不共線的三個公共點A、F、M，
∴平面EFMH和平面圖EFGM重合，
∴E、F、G、H四點共面．

點評 本題考查四點共面的證明，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意平面的基本性質(zhì)及推論的合理運用．