Question

14．已知函數(shù)f（x）=x|x|，若對任意的x≤1有f（x+m）+f（x）＜0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）
• B． （-∞，-1]
• C． （-∞，-2）
• D． （-∞，-2]

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可．

解答 解：f（x）=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x≥0}\\{-{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
則函數(shù)f（x）在定義域?yàn)樵龊瘮?shù)，
且f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
則若對任意的x≤1有f（x+m）+f（x）＜0恒成立，
等價為若對任意的x≤1有f（x+m）＜-f（x）=f（-x），
即x+m＜-x恒成立，
即m＜-2x恒成立，
∵x≤1，∴-2x≥-2，
則m＜-2，
故選：C

點(diǎn)評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．利用參數(shù)分離法是解決不等式恒成立問題的常用方法．