Question

9．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{6}cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2-\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），T為直線l與曲線C的公共點，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求點T的直角坐標(biāo)；
（2）將曲線C上所有點的縱坐標(biāo)伸長為原來的$\sqrt{3}$倍（橫坐標(biāo)不變）后得到曲線W，直線m的極坐標(biāo)方程為pcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，求直線m被曲線W截得的線段長為多少？

Answer 1

分析 （1）先求出曲線C的普通方程，將直線l的參數(shù)方程代人，解得t的值，由此可得點T的直角坐標(biāo)．
（Ⅱ）依題可得W的方程為x²+y²=6．求出圓心W（0，0）到直線l的距離d，由此利用勾股定理能求出直線m被曲線W截得的線段長．

解答 解：（1）曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
將直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2-\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代人上式，
整理得t²-4t+4=0，解得t=2，
故點T的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，1）．
（Ⅱ）依題意知，坐標(biāo)變換式為$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=x}\\{{y}^{'}=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，
故曲線W的方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{（\frac{y}{\sqrt{3}}）^{2}}{2}$=1，整理，得x²+y²=6．
∵直線m的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ=\sqrt{3}$，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為$\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-\sqrt{3}=0$，
曲線W是圓心為W（0，0），半徑為r=$\sqrt{6}$的圓，
∴圓心W（0，0）到直線l的距離d=$\frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}$=$\sqrt{3}$，
∴直線m被曲線W截得的線段長：
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-twxdtrn^{2}}$=2$\sqrt{6-3}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查點的直角坐標(biāo)的求法，考查弦長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)的互化公式的合理運(yùn)用．