Question

17．（1）解不等式x²-2x+3≤0；
（2）已知不等式（k-1）x²+（1-k）x+1＞0的解集為R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式△＜0判斷不等式x²-2x+3≤0的解集為∅；
（2）討論k的取值范圍，求出該不等式解集為R時(shí)實(shí)數(shù)k的取值范圍即可．

解答 解：（1）在不等式x²-2x+3≤0中，
△=（-2）²-4×1×3=-8＜0，
∴該不等式對(duì)應(yīng)的方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴該不等式的解集為∅；
（2）∵不等式（k-1）x²+（1-k）x+1＞0的解集為R，
∴當(dāng)k-1=0，即k=1，不等式化為1＞0恒成立；
當(dāng)k-1≠0，即k≠1時(shí)，應(yīng)滿足$\left\{\begin{array}{l}{k-1＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＞1}\\{{（1-k）}^{2}-4（k-1）＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k＞1}\\{1＜k＜5}\end{array}\right.$，
即1＜k＜5；
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是1≤k＜5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式恒成立問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．