Question

16．等邊△ABC的邊長為a，過△ABC的中心O作OP⊥平面ABC且OP=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，則點P到△ABC的邊BC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}a$．

Answer 1

分析 如圖所示，AO與BC邊相交于點D．由等邊△ABC的邊長為a，O是△ABC的中心，可得AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，PD⊥BC．OD=$\frac{1}{3}$AD．在RtPOD中，利用勾股定理可得PD=$\sqrt{P{O}^{2}+O{D}^{2}}$．

解答 解：如圖所示，
AO與BC邊相交于點D．
∵等邊△ABC的邊長為a，O是△ABC的中心，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，PD⊥BC．
OD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
在RtPOD中，
PD=$\sqrt{P{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{6}}{3}a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{6}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}a$．

點評 本題考查了正三角形的性質(zhì)、正三棱錐的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．