Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為e，直線l：y=ex+a，P為點F₁關于直線l對稱的點，若△PF₁F₂為等腰三角形，則a的值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關系，結合點到直線的距離公式，由題意可得|PF₁|=|F₁F₂|，解方程即可求得a的值．

解答 解：由題意可得c=$\sqrt{{a}^{2}-2}$，e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-2}}{a}$，
F₁（-c，0）到直線l的距離為d=$\frac{|a-ec|}{\sqrt{1+{e}^{2}}}$，
由題意可得|PF₁|=|F₁F₂|，
即為2d=2c，即有$\frac{（a-\frac{{a}^{2}-2}{a}）^{2}}{1+\frac{{a}^{2}-2}{{a}^{2}}}$=a²-2，
化簡可得a⁴-3a²=0，
解得a=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，考查離心率公式的運用和點到直線的距離公式，以及運算化簡能力，屬于中檔題．