Question

20．正四棱錐（底面為正方形的四棱錐）S-ABCD側(cè)棱長與底面邊長相等，E為SC中點，BE與SA所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 過點P作PO⊥平面ABCD，交ABCD于點O，以O為原點，過O作DA的平行線為x軸，過O作AB的平行線為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出BE與SA所成角的余弦值．

解答 解：過點P作PO⊥平面ABCD，交ABCD于點O，
以O為原點，過O作DA的平行線為x軸，過O作AB的平行線為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標系，
設正四棱錐S-ABCD側(cè)棱長與底面邊長都為2，
則A（1，-1，0），OB=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，OS=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，B（1，1，0），
S（0，0，$\sqrt{2}$），C（-1，1，0），E（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{SA}$=（1，-1，-$\sqrt{2}$），
設BE與SA所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{SA}|}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{SA}|}$=$\frac{|-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-1|}{\sqrt{3}•\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴BE與SA所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．