Question

13．?dāng)?shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁＞0，若a₁₀₀₈+a₁₀₀₉＞0，a₁₀₀₈•a₁₀₀₉＜0同時(shí)成立，則使S_n＞0的n最大值是2016．

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出a₁₀₀₈＞0，a₁₀₀₉＜0，再由等比數(shù)列的求和公式，由此能求出使前n項(xiàng)和S_n＞0成立的最大自然數(shù)n的值．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}，首項(xiàng)a₁＞0，a₁₀₀₈+a₁₀₀₉＞0，a₁₀₀₈•a₁₀₀₉＜0，
∴a₁₀₀₈＞0，a₁₀₀₉＜0．
如若不然，a₁₀₀₈＜0＜a₁₀₀₉，則d＞0，
而a₁＞0，得a₁₀₀₈=a₁+1007d＞0，矛盾，故不可能．
由S_n=$\frac{1}{2}$n（a₁+a_n），
可得S₂₀₁₆=$\frac{1}{2}$•2016（a₁+a₂₀₁₆）=1008（a₁₀₀₈+a₁₀₀₉）＞0，
∴使前n項(xiàng)和S_n＞0成立的最大自然數(shù)n為2016．
故答案為：2016．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為正數(shù)的n的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的合理運(yùn)用．