Question

19．設(shè)α∈R，f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）．
（1）證明對(duì)任意實(shí)數(shù)a，f（x）為增函數(shù)．
（2）試確定a的值，使f（x）≤0恒成立．

Answer 1

分析 （1）由單調(diào)性的定義，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論；
（2）由題意可得a≤$\frac{2}{{2}^{x}+1}$恒成立，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的值域，求得右邊函數(shù)的范圍，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）證明：設(shè)m＜n，則f（m）-f（n）=a-$\frac{2}{{2}^{m}+1}$-（a-$\frac{2}{{2}^{n}+1}$）
=$\frac{2（{2}^{m}-{2}^{n}）}{（1+{2}^{m}）（1+{2}^{n}）}$，由m＜n，可得0＜2^m＜2ⁿ，
即有f（m）＜f（n），則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，f（x）為R上的增函數(shù)；
（2）f（x）≤0恒成立，即為a≤$\frac{2}{{2}^{x}+1}$恒成立，
由$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在R上遞減，且2^x＞0，可得$\frac{2}{{2}^{x}+1}$∈（0，2），
則a≤0，即a的范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，注意運(yùn)用單調(diào)性的定義，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法運(yùn)用參數(shù)分離，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．