Question

16．設函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，并且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（$\frac{1}{3}$）=1．
（1）求f（1）的值；
（2）若存在實數(shù)m，使得f（m）=2，求m的值；
（3）若f（x-2）＞2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可求得f（1）；（2）令x=y=$\frac{1}{3}$，即可得到m=2：
（3）由（2）的結(jié)論和函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，可得x的不等式組，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）令x=y=1則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；    
（2）∵f（$\frac{1}{3}$）=1，
∴f（$\frac{1}{9}$）=f（$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{3}$）=2，
∴m=$\frac{1}{9}$；     
（3）∵f（x-2）＞2=f（$\frac{1}{9}$），
函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{x-2＜\frac{1}{9}}\end{array}\right.$，解得2＜x＜$\frac{19}{9}$．

點評 本題考查抽象函數(shù)的運用：求函數(shù)值和自變量的值，考查賦值法的運用，同時考查單調(diào)性的運用：解不等式，屬于中檔題．