Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）當b_n=log${\;}_{\frac{3}{2}}$（3a_n+1）時，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1．當n=1時，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）b_n=log${\;}_{\frac{3}{2}}$（3a_n+1）=n，可得$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1．當n=1時，a₁=S₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{3}{2}$）^n-1-$（\frac{3}{2}）^{n-2}$=$\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）b_n=log${\;}_{\frac{3}{2}}$（3a_n+1）=n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+$$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了遞推關系應用、數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算性質、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．