Question

1．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1），過(guò)點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)F是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）分別求拋物線C和橢圓E的方程；
（2）經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線l₁，l₂，切線l₁與l₂相交于點(diǎn)M．證明：AB⊥MF；
（3）橢圓E上是否存在一點(diǎn)M′，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M′作拋物線C的兩條切線M′A′，M′B′（A′，B′為切點(diǎn)），使得直線A′B′過(guò)點(diǎn)F？若存在，求出點(diǎn)M′及兩切線方程，若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的焦點(diǎn)可得p=2，進(jìn)而得到拋物線的方程；再由橢圓的離心率和a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） （x₁≠x₂），代入拋物線方程x²=4y，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由切線的斜率求得切線的方程，求得交點(diǎn)M的坐標(biāo)，求得向量FM，AB的坐標(biāo)，運(yùn)用向量垂直的條件，即可得證；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)M′滿足題意，由（2）知點(diǎn)M′必在直線y=-1上，又直線y=-1與橢圓E有唯一交點(diǎn)，故M′的坐標(biāo)為M′（0，-1），設(shè)出過(guò)點(diǎn)M′且與拋物線C相切的切線方程，令x=0，y=-1，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，不妨取A′（-2，1），B′（2，1），即可判斷，進(jìn)而得到所求切線的方程．

解答 解：（1）拋物線C：x²=2py （p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1），
可得$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
可得拋物線C的方程為x²=4y；
設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1 （a＞b＞0），半焦距為c．
由已知可得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，a²-b²=c²，
解得a=2，b=1．
所以橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）證明：顯然直線l的斜率存在，
否則直線l與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） （x₁≠x₂），
代入拋物線方程x²=4y，消去y并整理得x²-4kx-4=0，∴x₁x₂=-4．
∵拋物線C的方程為y=$\frac{1}{4}$x²，求導(dǎo)得y′=$\frac{1}{2}$x，
∴過(guò)拋物線C上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），y-y₂=$\frac{1}{2}$x₂（x-x₂），
即y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}$x₂²，
解得兩條切線l₁，l₂的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），即M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，-1），
$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，-2）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=$\frac{1}{2}$（x₂²-x₁²）-2（$\frac{1}{4}$x₂²-$\frac{1}{4}$x₁²）=0，
∴AB⊥MF．
（3）假設(shè)存在點(diǎn)M′滿足題意，由（2）知點(diǎn)M′必在直線y=-1上，
又直線y=-1與橢圓E有唯一交點(diǎn)，故M′的坐標(biāo)為M′（0，-1），
設(shè)過(guò)點(diǎn)M′且與拋物線C相切的切線方程為y-y₀=$\frac{1}{2}$x₀（x-x₀），其中點(diǎn)（x₀，y₀）為切點(diǎn)．
令x=0，y=-1，得-1-$\frac{1}{4}$x₀²=$\frac{1}{2}$x₀（0-x₀），解得x₀=2或x₀=-2，
故不妨取A′（-2，1），B′（2，1），即直線A′B′過(guò)點(diǎn)F．
綜上所述，橢圓E上存在一點(diǎn)M′（0，-1），
經(jīng)過(guò)點(diǎn)M'作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B′（A′、B′為切點(diǎn)），能使直線A′B′過(guò)點(diǎn)F．
此時(shí)，兩切線的方程分別為y=-x-1和y=x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線和橢圓方程的求法，注意運(yùn)用拋物線和橢圓的性質(zhì)，考查拋物線的切線的交點(diǎn)的性質(zhì)，注意運(yùn)用拋物線的切線的方程，考查橢圓上一點(diǎn)作拋物線的切線交于點(diǎn)F的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于難題．