Question

18．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓${C_1}：\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$與雙曲線C₂的公共焦點，A，B分別是C₁，C₂在第二、四象限的公共點．若四邊形AF₁BF₂為矩形，則C₂的離心率是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)|AF₁|=x，|AF₂|=y，利用橢圓的定義，四邊形AF₁BF₂為矩形，可求出x，y的值，進而可得雙曲線的幾何量，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)|AF₁|=x，|AF₂|=y，
∵點A為橢圓${C_1}：\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$，
∴a=2$\sqrt{3}$，b=2，c=2$\sqrt{2}$；
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=4$\sqrt{3}$，即x+y=4$\sqrt{3}$；①
又四邊形AF₁BF₂為矩形，
∴x²+y²=（2c）²=32，②
由①②解得x=2$\sqrt{3}$-2，y=2$\sqrt{3}$+2，
設(shè)雙曲線C₂的實軸長為2a′，焦距為2c′，
則2a′=|AF₂|-|AF₁|=y-x=4，2c′=4$\sqrt{2}$，
∴C₂的離心率是e=$\frac{c′}{a′}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)，求得|AF₁|與|AF₂|是關(guān)鍵，考查分析與運算能力，屬于中檔題．