Question

3．（1）已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{a+c-b}$+$\frac{a+b-c}{c}＞3$
（2）已知：△ABC的三條邊分別為a，b，c．求證：$\frac{a+b}{1+a+b}＞\frac{c}{1+c}$．

Answer 1

分析 （1）對(duì)分式分解，利用均值定理可得．
（2）構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+x}$=1-$\frac{1}{1+x}$；只需判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（1）∵$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{a+c-b}$+$\frac{a+b-c}{c}$
=$\frac{a}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}$+$\frac{c}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$-3
∵a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，
∴$\frac{a}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}$+$\frac{c}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$-3
=$\frac{a}$+$\frac{a}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$+$\frac{c}$-3＞6-3=3；
（2）令f（x）=$\frac{x}{1+x}$=1-$\frac{1}{1+x}$；
由1+x遞增，得f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
∵a+b＞c，
∴f（a+b）＞f（c）
∴$\frac{a+b}{1+a+b}＞\frac{c}{1+c}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了均值定理和利用函數(shù)證明不等式．難點(diǎn)是函數(shù)的構(gòu)造，應(yīng)細(xì)心觀察．