Question

16．已知sinθ、cosθ是關(guān)于x的方程x²-2$\sqrt{2}$ax+a=0的兩個(gè)根．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若θ∈（-$\frac{π}{2}$，0），求sinθ-cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）由sinθ、cosθ為已知方程的兩根，得到根的判別式大于等于0，求出θ的范圍，利用韋達(dá)定理表示出sinθ+cosθ與sinθcosθ，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值．
（2）利用角的范圍可得：sinθ＜0，cosθ＞0，由（1）可得：a=-$\frac{1}{4}$，sinθ+cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinθcosθ=-$\frac{1}{4}$，
從而利用sinθ-cosθ=-$\sqrt{1-2sinθcosθ}$即可求值．

解答 解：（1）∵sinθ、cosθ是方程x²-2$\sqrt{2}$ax+a=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴sinθ+cosθ=2$\sqrt{2}a$①，sinθcosθ=a②，△=b²-4ac=8a²-4a≥0，即a≤0或a≥$\frac{1}{2}$，
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=1+2a=8a²，即8a²-2a-1=0，
解得：a=-$\frac{1}{4}$，或$\frac{1}{2}$．
（2）∵θ∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴sinθ＜0，cosθ＞0，可得：sinθcosθ=a＜0，由（1）可得：a=-$\frac{1}{4}$，
∴sinθ+cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinθcosθ=-$\frac{1}{4}$，
∴sinθ-cosθ=-$\sqrt{1-2sinθcosθ}$=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．