Question

15．已知點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運動（含端點）.$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+2y$\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），則$\frac{x}{2}+y$的取值范圍是（　�。�

• A． $[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• B． $[\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• C． $[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$
• D． $[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{2}]$

Answer 1

分析 以O(shè)為原點，OA方向為x軸正方向建立坐標(biāo)系，分別求出A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)則$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα），根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到$\frac{x}{2}+y$的取值范圍．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，
可設(shè)A（1，0），B（0，1），
設(shè)∠AOC=α（0≤α≤$\frac{π}{2}$），
則$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα）．
由$\overrightarrow{OC}$=（x，2y）=（cosα，sinα），
則$\frac{x}{2}+y$=$\frac{1}{2}$（cosα+sinα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）（0≤α≤$\frac{π}{2}$），
由$\frac{π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，可得sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
即有$\frac{x}{2}+y$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故選：B．

點評 本題考查的知識點是平面向量的綜合應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)，其中建立坐標(biāo)系，分別求出A，B，C點的坐標(biāo)，將一個幾何問題代數(shù)化，是解答本題的關(guān)鍵．