Question

17．在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：CF∥平面A₁DE；
（2）求直線AA₁與平面A₁DE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取A₁D中點(diǎn)M，連接FM，推導(dǎo)出平行四邊形CFME，由此能證明CF∥平面A₁DE．
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線為軸建系，利用向量法能求出直線AA₁與平面A₁DE所成角的余弦值．

解答 解：（1）取A₁D中點(diǎn)M，連接FM，
∵F為DD₁中點(diǎn)，
∴FM∥A₁D₁且FM=$\frac{1}{2}$A₁D₁，…（3分）
又∵CE∥A₁D₁且$CE=\frac{1}{2}{A_1}{D_1}$，∴FM∥CE且FM=CE，
∴平行四邊形CFME，∴CF∥ME，
又∵EM⊆面A₁DE，∴CF∥平面A₁DE．…（5分）
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線為軸建系，
則A（1，0，0），A₁（1，0，1），E（$\frac{1}{2}$，1，0），…（6分）
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1），面A₁DE的法向量可取$\vec u=（-1，\frac{1}{2}，1）$，…（8分）
∴cos＜$\overrightarrow{A{A}_{1}}，\overrightarrow{μ}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{μ}}{|\overrightarrow{A{A}_{1}}|•|\overrightarrow{μ}|}$=$\frac{2}{3}$，…（9分）
∴cos$θ=sin＜\overrightarrow{A{A}_{1}}，\overrightarrow{μ}＞$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴直線AA₁與平面A₁DE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{3}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．